Término algebraico : noviembre 2013

Término :

-Un término es una expresión algebraica elemental donde se encuentran solo operaciones de multiplicación y división de números y letras. El número se llama coeficiente y las letras conforman la parte literal. Tanto el número como cada letra pueden estar elevados a una potencia. En una expresión algebraica con varios términos, éstos están separados con signos de suma y resta.

Término independiente

El término independiente es el que consta de solo un valor numérico y no tiene parte literal.

Términos semejantes

Los términos semejantes son los que tienen exactamente la misma parte literal (con las mismas letras elevadas a los mismos exponentes), y varían solo en el coeficiente. Solo se pueden sumar y restar términos semejantes. No se pueden sumar y restar términos que no sean semejantes; sin embargo, se puede multiplicar y dividir todo tipo de términos. Si en una expresión algebraica hay varios términos semejantes, éstos se pueden simplificar sumándolos o restándolos.

Grado de un término

El grado de un término puede ser de dos tipos: grado absoluto y grado relativo.

Polinomio

Artículo principal: polinomio.

Un polinomio es una expresión algebraica en la cual solo intervienen las operaciones de suma, resta y multiplicación, así como exponentes enteros positivos.Cuando el polinomio consta de uno, de dos o de tres términos se llama monomio, binomio otrinomio, respectivamente. Generalmente, un polinomio P en la variable x se expresa como:

$P(x)_{}^{} =$ $a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1}+ \cdots + a_1 x^{1} + a_0 x^{0}.$

Valor numérico de un polinomio

Es el valor que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos y luego realizar las operaciones del polinomio.

Leyes del álgebra elemental

Propiedades de las operaciones

La operación de adición (+)
- se escribe $\, a + b$
- esconmutativa: $\, a + b = b + a$
- es asociativa: $\, (a + b) + c = a +(b + c)$
- tiene una operación inversa, llamada sustracción : $\, (a + b)- b = a$ , que es igual a sumar un
- número negativo , $\, a-b = a +(-b)$
- tiene un elemento neutro 0 que no altera la suma: $\, a + 0 = a$

La operación de multiplicación (×)
- se escribe $\, (a \times b)$ ó $\,( a \cdot b )$
- es conmutativa: $\, (a \cdot b )$ = $\, (b \cdot a)$
- es asociativa: $\, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
- es abreviada por yuxtaposición: $a \cdot b \equiv ab$
- tiene una operación inversa, para números diferentes a cero, llamada división $\frac{(ab)}{b} = a$ , que es igual a multiplicar por el recíproco, $\frac{a}{b} = a \left(\frac{1}{b} \right)$
- tiene un elemento neutro 1 que no altera la multiplicación: $a \times 1 = a$
- es distributina respecto la adición: $\, (a + b) \cdot c = ac + bc$

La operación de potenciación :
- se escribe $\, a^{b}$
- es una multiplicación repetida: $a^{n} = a \times a \times \ldots \times a$ (n veces)
- no es ni comutativa ni asociativa: en general $\, a^{b} \ne b^{a}$ y $\, (a^{b})^{c} \ne a^{(b^{c})}$
- tiene una operación inversa, llamada logaritmo: $\, a^{log_{a} b}= b = log_{a} a^{b}$
- puede ser escrita en términos de raíz n-ésima: $\ a^{m/n} \equiv (\sqrt[n]{a^{m}})$ y por lo tanto las raíces pares de números negativos no existen en el sistema de los números reales. (Ver: sistema de numeros complejos).
- es distributiva con respecto a la multiplicación: $\, (a \cdot b)^{c} = a^{c} \cdot b^{c}$
- tiene la propiedad: $\ {a^{b}} \cdot {a^{c}} = a^{b + c}$
- tiene la propiedad: $\, (a^{b})^{c} = a^{bc}$

Orden de las operaciones

Para completar el valor de una expresión, es necesario calcular partes de ella en un orden particular, conocido como el orden de prioridad o el orden de precedencia de las operaciones. Primero se calculan los valores de las expresiones encerradas en signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves), luego las multiplicaciones y divisiones y, por último, las sumas y las restas.

Propiedades de la igualdad

La relación deigualdad (=) es:

reflexiba $\, a = a$
sométrica : si $\, a = b$ entonces $\, b = a$
transitiva: si $\, a = b$ y $\, b = c$ entonces $\, a = c$

Leyes de la igualdad

La relación de igualdad (=) tiene las propiedades siguientes:

si $\, a = b$ y $\, c = d$ entonces $\, a + c = b + d$ y $\, ac = bd$
si $\,a = b$ entonces $\, a + c = b + c$
si dos símbolos son iguales, entonces uno puede ser sustituido por el otro.
regularidad de la suma: trabajando con números reales o complejos sucede que si $\, a + c = b + c$ entonces $\, a = b$ .
regularidad condicional de la multiplicación: si $\, a \cdot c = b \cdot c$ y $\, c$ no es cero, entonces $\, a = b$ .